使用Moku:Pro同時(shí)實(shí)現(xiàn)窄線寬激光系統(tǒng)的鎖定和表征應(yīng)用案例

利用Moku:Pro 的多儀器并行模式，用戶可以使用激光鎖頻/穩(wěn)頻器將激光鎖定到光學(xué)腔，無(wú)需額外的測(cè)試設(shè)備或布線又能同時(shí)使用頻率響應(yīng)分析儀（FRA）測(cè)量 Bode 圖。通過(guò)向誤差信號(hào)施加干擾并使用 FRA 測(cè)量傳遞函數(shù)，可以檢查閉環(huán)增益、相位裕度和環(huán)路干擾抑制性能。用戶可以在頻率響應(yīng)分析儀和激光鎖頻/穩(wěn)頻器之間快速切換，方便靈活地調(diào)整 PID 參數(shù)同時(shí)并優(yōu)化環(huán)路性能，從而確保穩(wěn)定性并最大限度地抑制干擾。

在分子和原子物理等高精度測(cè)量應(yīng)用中，具有動(dòng)態(tài)頻率噪聲抑制的激光系統(tǒng)因其良好的長(zhǎng)期穩(wěn)定性而得到廣泛應(yīng)用。要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的激光鎖定，需要高度優(yōu)化的反饋控制，這尤其涉及到包括測(cè)量： 1) 控制環(huán)路的傳遞函數(shù)，確保低頻時(shí)有足夠的增益，同時(shí)保持較低的單位增益頻率，以維持環(huán)路的穩(wěn)定性；2) 干擾抑制，即通過(guò)測(cè)量干擾耦合到激光器中并且穿越整個(gè)系統(tǒng)后的傳遞函數(shù)評(píng)估系統(tǒng)抗干擾性能。

傳遞函數(shù)通?？梢岳L制成Bode圖，表征在設(shè)定頻率范圍內(nèi)的環(huán)路增益和相移。測(cè)量閉環(huán)系統(tǒng)干擾抑制的主要挑戰(zhàn)是在不中斷反饋控制的情況下注入噪聲。通常，系統(tǒng)設(shè)置非常復(fù)雜，不僅需要噪聲源作為注入干擾，又需要網(wǎng)絡(luò)分析儀來(lái)測(cè)量響應(yīng)。

在這篇應(yīng)用說(shuō)明中，我們將演示如何使用 Moku:Pro 的多儀器并行模式來(lái)表征激光穩(wěn)定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)和閉環(huán)性能。通過(guò) Moku:Pro，我們可以將激光鎖定在腔體上，注入干擾，并同時(shí)測(cè)量開(kāi)環(huán)、閉環(huán)和擾動(dòng)傳遞函數(shù)。此外，還可以實(shí)時(shí)調(diào)整 PID 參數(shù)來(lái)優(yōu)化環(huán)路配置，以確保穩(wěn)定性、增強(qiáng)干擾抑制和抑制頻率噪聲。Moku:Pro 為激光穩(wěn)定和特性分析提供了緊湊高效的解決方案。

反饋控制基礎(chǔ)知識(shí)

為了更好地理解激光鎖定系統(tǒng)，我們首先需要簡(jiǎn)要回顧一下通用反饋控制原理。通過(guò)分析和推導(dǎo)本節(jié)中的干擾抑制方程，我們可以確定在何處注入干擾以及在 Pound-Drever-Hall (PDH) 鎖定過(guò)程中探測(cè)環(huán)路響應(yīng)的位置。

一般來(lái)說(shuō)，我們可以將控制系統(tǒng)分為兩種類型，即開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。主要區(qū)別在于前者的控制方式與系統(tǒng)的輸出無(wú)關(guān)，而后者的控制方式依賴于輸出[1]。通用反饋控制環(huán)路的基本概念是利用當(dāng)前工作點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的差值作為誤差信號(hào)，將系統(tǒng)的輸出維持在一個(gè)恒定的設(shè)定點(diǎn)上運(yùn)行[1]。用于激光穩(wěn)定的 PDH 鎖定技術(shù)利用腔反射產(chǎn)生誤差信號(hào)，并反饋給激光器以保持光源在特定頻率下發(fā)射激光，同時(shí)將激光頻率噪聲降至zui 低。這被視為閉環(huán)控制 [2]。基本的反饋控制系統(tǒng)通常由三個(gè)部分組成，如圖 1 所示，即被控對(duì)象（需要控制的對(duì)象）、傳感器（測(cè)量被控對(duì)象的輸出）和控制器（產(chǎn)生反饋輸入）。

圖 1：典型反饋控制系統(tǒng)框圖。它由三個(gè)主要部分組成：被控對(duì)象 (P)、測(cè)量特定信號(hào)的傳感器 (S) 以及為被控對(duì)象生成輸入的執(zhí)行器或控制器 (C)。

我們可以利用拉普拉斯變換推導(dǎo)出控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，對(duì)于給定的時(shí)域信號(hào) f(t)，其定義為 F(s)。

對(duì)于圖 1 所示的系統(tǒng)，三個(gè)組件都有自己的傳遞函數(shù)，分別用P(s)、S(s) 和 C(s)表示為被控對(duì)象、傳感器和控制器。 為了簡(jiǎn)化下面的推導(dǎo)，引入了一個(gè)額外的內(nèi)部信號(hào)并標(biāo)記為U(s)。 輸入信號(hào)為 X(s)，我們可以計(jì)算出經(jīng)過(guò)這樣的系統(tǒng)后的輸出信號(hào)：

根據(jù)公式 (2) 和 (3)，反饋系統(tǒng)（H(s)）的傳遞函數(shù)可以通過(guò)輸出拉普拉斯變換與輸入的比值求得：

其中 C(s)P(s)S(s) 是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益（有時(shí)也稱為返回比），方程 (4) 稱為閉環(huán)增益。 到目前為止的分析主要集中在信號(hào)的變換上，而在實(shí)際情況中，噪聲的抑制更令人感興趣。 噪聲可以從環(huán)路內(nèi)的任何地方引入，但這里我們考慮從被控對(duì)象引入的噪聲（其他噪聲源也可以通過(guò)相同的步驟分析）。 當(dāng)引入噪聲 (N(s))進(jìn)行分析, 系統(tǒng)輸出被修正為:

對(duì)于具有較大控制增益 (C(s) -> ∞)的系統(tǒng), 系統(tǒng)的輸出接近輸入, 也稱為單位增益。由外部干擾引入被控對(duì)象的噪音也被大幅抑制至零點(diǎn)。這類干擾的傳遞函數(shù)也被稱為干擾抑制(或靈敏度函數(shù)), 這表征了一個(gè)控制系統(tǒng)應(yīng)對(duì)被控對(duì)象輸出出現(xiàn)干擾的靈敏度。和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)相似, 干擾抑制也與頻率相關(guān)。當(dāng)干擾抑制的幅度超過(guò)單位增益, 這類噪聲抑制變得無(wú)效, 相應(yīng)的頻率因此被稱為單位增益頻率。更重要的是, 當(dāng)開(kāi)環(huán)增益的相位達(dá)到180度 (這是 1 + C(s)P(s)S(s) = 0 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)), 噪聲將被放大, 導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定, 尤其是當(dāng) C(s)P(s)S(s) 接近 -1 時(shí)。這個(gè)轉(zhuǎn)換點(diǎn)是反饋系統(tǒng)的另一個(gè)關(guān)鍵參數(shù), 稱為相位裕度。閉環(huán)控制的帶寬受單位增益頻率和相位裕度的限制, 如果相位裕度出現(xiàn)在低于單位增益頻率的頻率上, 系統(tǒng)將無(wú)法穩(wěn)定。

激光反饋控制

下面的激光穩(wěn)頻系統(tǒng)相當(dāng)于上一章節(jié)討論的反饋控制回路。在這篇應(yīng)用筆記中, 激光通過(guò)使用PDH鎖頻方法的反饋控制回路被鎖定到一個(gè)光學(xué)腔上。圖 2 說(shuō)明了激光穩(wěn)頻過(guò)程的反饋回路, 由外部伺服控制與內(nèi)部 PZT 觸動(dòng)器相結(jié)合形成。

圖 2：概念框圖顯示將激光波長(zhǎng)鎖定在腔諧振上的反饋控制回路。PID 控制器控制激光器內(nèi)部的 PZT 傳感器。

這里穩(wěn)頻系統(tǒng)可以理解為激光器是被控對(duì)象，其頻率是系統(tǒng)輸出(Y(s))。系統(tǒng)試圖穩(wěn)定的設(shè)定點(diǎn)是光學(xué)參考腔的諧振頻率。輸出在光學(xué)鑒頻器上與設(shè)定點(diǎn)做比較。一個(gè)傳感器測(cè)量這些信號(hào)的差值(S(s)), 其中包括光信號(hào)和光電信號(hào), 生成的誤差信號(hào)被控制器進(jìn)一步處理。一般控制器也被稱為伺服控制(C(s))。它針對(duì)被控對(duì)象的特性，提供控制信號(hào)以減少位置誤差并優(yōu)化驅(qū)動(dòng)過(guò)程中的過(guò)沖。這里使用的激光器(Plant 被控對(duì)象)一般都是可調(diào)諧激光器, 它的頻率能夠根據(jù)控制信號(hào)通過(guò)內(nèi)置的 PZT 觸動(dòng)器來(lái)調(diào)制。所以, 控制信號(hào)被輸入至激光器后生成最終的輸出波長(zhǎng)。最后這個(gè)輸出信號(hào)被反饋回去并刷新反饋信號(hào)。

基于觸動(dòng)器的響應(yīng), 需要仔細(xì)設(shè)定控制器的響應(yīng)和 PID 設(shè)置來(lái)保證穩(wěn)定的反饋和足夠的噪聲抑制。為了更好地理解, 可以通過(guò)測(cè)量干擾抑制來(lái)表征整個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)控制響應(yīng)。我們可以通過(guò)在 Vin 處注入掃頻信號(hào)和在 Vout 處得到輸出信號(hào)。推導(dǎo)出的相對(duì)應(yīng)頻率響應(yīng)為:

其中 C(s)、P(s) 和 S(s) 表示控制器(伺服控制)、被控對(duì)象(PZT 觸動(dòng)器)和傳感器的作用。公式6中的表達(dá)式提供干擾抑制, 公式7表示互補(bǔ)靈敏度函數(shù), 公式8是控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益。

實(shí)驗(yàn)設(shè)置

在這個(gè)實(shí)驗(yàn)里, Moku:Pro不僅用作鎖相放大器, 也表征了系統(tǒng)的閉環(huán)控制響應(yīng)。圖3顯示了完整的系統(tǒng)搭建, 圖4演示了多儀器并行模式下的儀器配置。為了達(dá)到我們的目的, 我們?cè)?個(gè)獨(dú)立的插槽上部署了4個(gè)儀器功能: 分別是激光鎖頻/穩(wěn)頻、鎖相放大器、PID控制器和頻率響應(yīng)分析儀。

圖 3：鑒定激光穩(wěn)定系統(tǒng)回路干擾抑制的實(shí)驗(yàn)裝置。使用頻率響應(yīng)分析儀直接測(cè)量和生成干擾抑制，同時(shí)使用Moku:Pro 的激光鎖頻/穩(wěn)頻器將激光鎖定到外部參考腔。通過(guò)將PID 控制器比例增益設(shè)置為 0 dB 實(shí)現(xiàn)的注入Injection或加法器Adder。

圖 4：多儀器并行模式下的 Moku:Pro 配置。請(qǐng)注意，由于四個(gè)插槽wan 全相互獨(dú)立，因此添加到插槽中的儀器功能順序并不重要。

干擾在誤差信號(hào)解調(diào)之后但在傳輸?shù)娇刂破髦氨蛔⑷?。所以我們將激光鎖頻過(guò)程分成兩個(gè)單獨(dú)的過(guò)程: 鎖相放大器 (LIA) 通過(guò) Out1 生成調(diào)制信號(hào)給電光調(diào)制器 (EOM), 同時(shí)來(lái)解調(diào)誤差信號(hào); 激光鎖頻/穩(wěn)頻 (LLB) 跳過(guò)解調(diào)過(guò)程并只提供伺服控制或者控制信號(hào)傳輸回激光器。Out2, 來(lái)自于 LLB 里的快速PID控制器, 隨后被直接連接到激光器的壓電陶瓷來(lái)精確地調(diào)控激光器的頻率, Out3 被接到激光器的溫度控制。

同時(shí)我們用頻響分析儀 (FRA) 來(lái)測(cè)量閉環(huán)系統(tǒng)的干擾抑制, 這里它生成一個(gè)正弦掃頻偏移信號(hào)并使用PID控制器作為加法器來(lái)注入 PID 控制環(huán)路信號(hào) (In 1)。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)求和效果, 我們通過(guò)設(shè)置一個(gè)輸入矩陣如

作為加法器來(lái)配置 PID 控制器并且比例增益設(shè)置為0dB。加法器的輸出被分成兩路, 一路提供誤差信號(hào)給激光鎖頻/穩(wěn)頻, 另一路被接到  FRA的通道 B來(lái)測(cè)量閉環(huán)控制的頻率響應(yīng)。FRA的通道 A則在注入正弦波之前記錄 PID 控制環(huán)路的頻率噪聲。

激光鎖頻/穩(wěn)頻器提供伺服控制。通過(guò)三角波掃描來(lái)監(jiān)測(cè)PDH誤差信號(hào), 然后我們調(diào)節(jié)慢速 PID 偏置來(lái)讓光學(xué)參考腔的諧振頻率接近掃描范圍的中點(diǎn)。然后在系統(tǒng)穩(wěn)頻前打開(kāi)積分器飽和來(lái)避免過(guò)度補(bǔ)償。我們?cè)龠x擇載波的過(guò)零點(diǎn)作為鎖頻點(diǎn)并使用“Lock Assist"功能來(lái)進(jìn)行鎖頻, 從而啟動(dòng)快速 PID 控制。最后, 我們禁用積分器飽和來(lái)以啟用全部的積分效應(yīng)以在低頻段獲得更多增益。您可以在此處找到激光鎖頻/穩(wěn)頻的詳細(xì)說(shuō)明。

在我們成功鎖定激光器頻率到光學(xué)腔上后, 我們切換儀器到頻率響應(yīng)分析儀, 在那里我們?cè)趦赏ǖ郎嫌靡粋€(gè)足夠小的輸出信號(hào)(5 mVpp)配置成(In ÷ Out)的測(cè)量方式。通過(guò)在感興趣的頻率范圍上進(jìn)行掃頻源的掃頻, 我們生成了與公式 6-8 相關(guān)的傳遞函數(shù)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

觀察圖5 的測(cè)量結(jié)果。

 圖 5：測(cè)量的傳遞函數(shù)，顯示整體閉環(huán)響應(yīng)（紅色）、閉環(huán)干擾抑制（藍(lán)色）和計(jì)算出的激光鎖定系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益（橙色）。干擾抑制的單增益頻率約為 24 kHz。

紅色軌跡曲線顯示測(cè)得的互補(bǔ)靈敏度傳遞函數(shù)(公式7), 藍(lán)色軌跡曲線顯示了干擾抑制(公式6)。通過(guò)使用數(shù)學(xué)計(jì)算通道(ChA ÷ ChB )，我們能夠動(dòng)態(tài)地計(jì)算開(kāi)環(huán)控制的傳遞函數(shù)，如圖5里的橘色軌跡曲線。從藍(lán)色軌跡曲線(或者橘色軌跡曲線)我們能夠看到穩(wěn)頻控制環(huán)路擁有高達(dá) ～24kHz的單位增益頻率，同時(shí)相位裕度略大于90度。該系統(tǒng)的穩(wěn)頻控制帶寬限制來(lái)自 PZT 的機(jī)械諧振頻率。我們能夠從這個(gè)圖觀察到有一個(gè) ～63kHz的機(jī)械諧振頻率。所以，進(jìn)一步調(diào)節(jié)系統(tǒng)到一個(gè)更高的增益可能會(huì)激發(fā)共振，這會(huì)導(dǎo)致在這個(gè)特殊頻率點(diǎn)上的正反饋并破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

另外，我們能夠從開(kāi)環(huán)控制響應(yīng)(橘色軌跡曲線)觀察到低頻增益達(dá)到了60dB。這與藍(lán)色軌跡跡曲線中的 -60 dB 擾動(dòng)抑制相對(duì)應(yīng)，同時(shí)表明激光鎖頻/穩(wěn)頻儀器能夠提供足夠的伺服控制增益來(lái)充分抑制激光頻率噪聲并維持穩(wěn)定的鎖定。

結(jié)論

Moku:Pro基于現(xiàn)場(chǎng)可編程門(mén)陣列 (FPGA) 的靈活方法解決了傳統(tǒng)固定功能測(cè)試和測(cè)量硬件的許多缺點(diǎn)?；贔PGA 的架構(gòu)提供了可以在儀器間動(dòng)態(tài)切換的能力。它還提供了同時(shí)使用多個(gè)儀器功能的能力, 例如用 頻率響應(yīng)分析儀表征激光鎖頻控制環(huán)路的傳遞函數(shù)時(shí)用 激光鎖頻/穩(wěn)頻其維持一個(gè)穩(wěn)定的鎖頻過(guò)程。多儀器并行模式使優(yōu)化閉環(huán)控制配置的過(guò)程更加直接和高效。直觀的用戶界面極大地降低了實(shí)驗(yàn)搭建的復(fù)雜性, 提供了更易于訪問(wèn)和靈活的解決方案。

此外，雖然本應(yīng)用筆記顯示了一個(gè)利用 PDH 鎖頻方案的示例, 但這種驗(yàn)證控制環(huán)路響應(yīng)的方法適用于其他鎖頻技術(shù), 例如 DC 鎖頻、邊緣側(cè)鎖頻（fringe-side locking）和傾斜鎖定（tilt locking）, 這些技術(shù)在激光穩(wěn)頻領(lǐng)域具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。

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